Grothendieck toegepast op verstrengeling en optimalisatie

Jop Briët, onderzoeker aan het Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) in Amsterdam, introduceert in zijn proefschrift nieuwe varianten op de ongelijkheid van Grothendieck. Hij paste deze toe op verstrengeling (‘entanglement’), een aspect van de kwantummechanica, en op optimalisatie. Op 27 oktober verdedigt Briët zijn proefschrift aan de Universiteit van Amsterdam.

Verstrengeling wil zeggen dat deeltjes die ver uit elkaar liggen zonder informatieoverdracht een correlatie kunnen vertonen. Briët bestudeerde verstrengeling aan de hand van zogenaamde non-local games, een experimentele setting waarbij twee of meer personen zonder met elkaar te communiceren gezamenlijk hun strategie moeten coördineren. Aan de hand van de winkans van een non-local game kan de sterkte van de correlatie worden bepaald.

In een kwantummechanische wereld kunnen personen uit het experiment gebruik maken van verstrengelde deeltjes om non-local games beter te spelen. Hoe sterker de correlatie, hoe beter de non-local games gespeeld kunnen worden en hoe sterker het bewijs dat de wereld zich gedraagt als in de kwantummechanica. Het onderzoek van Briët toont aan dat bij bepaalde non-local games de winkans lager is met het type verstrengeling dat op dit moment al experimenteel gerealiseerd kan worden, dan met verstrengeling die in theorie mogelijk zou moeten zijn.

Briët paste de ongelijkheden van Grothendieck ook toe op optimalisatie, het vinden van de juiste oplossing uit een groot aantal mogelijkheden. Een bekend voorbeeld van een moeilijk te optimaliseren probleem is het spoorboekje. Omdat het bepalen van de optimale keuze veel tijd kost wordt er in optimalisatie vaak gekeken naar het vinden van een zo goed mogelijke oplossing, die binnen een redelijke tijd te vinden is. Briët analyseerde de kwaliteit van algoritmen die precies zo’n alternatief bieden.

Onbedoeld loste Briët ook een 35 jaar oud vraagstuk op uit de Banach-algebra. In 2008 werd dit vraagstuk door wiskundigen al vertaald naar een probleem in de non-local games. Met het gemodificeerde gereedschap van Grothendieck vond Briët het laatste puzzelstukje om dit vraagstuk op te lossen.

Het wiskundig gereedschap van Grothendieck is zeer bekend. Deze wiskundige legde het fundament voor een geheel nieuwe opzet van de algebraïsche meetkunde en leverde daarnaast een belangrijke bijdrage aan de getaltheorie. Grothendieck zelf verdween spoorloos in 1991.